ÇARPANLARA AYIRMA - KURALLARI , çarmanlara ayırma , örnekler , çözümlü , çözümlü sorular , çarpanlara ayırma ile ilgili soru cevap , sorular - cevaplar , örnekler , çözümlü örnek sorular

1. Ortak Çarpan Parantezine Alarak Çarpanlara Ayırma :

Her terimde ortak olarak bulunan çarpan, parantez dışına alınır.

Her terimin ortak çarpana bölümü parantez içine yazılır.

 

1) Aşağıdaki ifadeleri Çarpanlarına ayırınız.

a) 3a + 3b = 3(a + b) b) 5m – 10mn = 5m (1 – 2)

c) 12x + 9y =3(4x + 3y) d) 3a²b – 2ab² = ab (3a – 2b)

e) 3ax + 3ay – 3az f) (a – b) x + 3 (a – b)

g) (m – n) – (a + b)(m – n) h) – a – b – x² (a + b)

ı) x²(p – 3) + ma² (3 – p) i) 1 – 2x + m (2x – 1)

 

Gruplandırma Yaparak Çarpanlara Ayırma : Bütün terimlerde ortak çarpan yoksa, terimler ikişer, ikişer, üçer, üçer guruplandırılır. Gruplar ayrı, ayrı ortak çarpanlarına ayrılır.

 

2) a) mx + ny + my + nx b) xy – xb – yb + b²

c) x⁴ – 4 + 2x³ – 2x d) 2x² –3x – 6xy + 9y

e) x³ – x + 1 – x² f) x⁴ – x + x³ – 1

g) ab(c² – d²) – cd (a² – b²) h) ac² + 3c – bc – 2ac – 6 + 2b

ı) mn(zⁱ + y²) + zy (m² + n²) i) a²b² + 1 – (a² + b²)

 

Tam Kare şeklindeki İfadeleri Çarpanlara Ayırma : Polinom üç terimli ise, ilk ve son terimin kare köklerinin çarpımı nın iki katı ortadaki terimi veriyorsa, bu tam kare şeklinde ifadedir a2 + 2ab + b2 = (a + b)2, a2 – 2ab + b2 = (a – b)2

 

3) a) x² + 4xb + 4b² b) 4a² + 12ab + 9b² c) 4a²b² – 4abc + c²

 

4) a) a²b + 8ab +16b³ b) 2m³ – 28m² +98m c) 4x³y – 12x²y² + 9xy³

 

İki Kare Farkı Şeklindeki İfadeleri Çarpanlara Ayırma : Polinom iki terimli , işaretleri farklı, kare kökleri alınıyorsa; Bu Polinom iki kare farkı biçiminde çarpanlarına ayrılır. a2 – b2 = (a + b) (a – b)

 

5) a) 25 – 9a²b² b) x⁴ – 1 c) (m – n)² – (m + n)²

 

6) a) 18x² – 2y² b) 2a²b³ – 32b c) 12x³y – 75xy⁵

 

7) a) 9a² – 6a +1 – b² b) x² – 12x + 36 – 4y² c)16m² – n² – 6n – 9

 

d)1 – x² – 2xy – y² e) m² – n² – 3m + 3n f) a² – 25b² – a + 5b

 

g) a² – 4m² – 12mn – 9n² h) 9a² –16m⁴ – 12axy + 4x²y²

 

İki Küp Toplamı - Farkı İfadeleri Çarpanlara Ayırma:   a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2) , a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)

 

8) a) a³ + 8 b) 8 – m³ c) x³ + 1 d) 27a³ – 64 e) x³a³ + b³

 

9) a) 81m³ – 3n³ b) 24x³y – 3y c) 2x + 54x⁴

 

10) a) (x +y)³ – 8 b) a³ + 8(a - b)³ c) (m – n)³ + 1

 

xn yn biçimindeki polinomları Çarpanlara Ayırma:

 

11) a) x⁴ + 1 = (x + 1) (x³ – x² + x – 1)

b) x⁴ – 1 = (x² + 1) (x + 1) (x – 1)

c) x⁵ + 2⁵ = (x + 2) (x⁴ – 2x³ + 4x² – 8x + 16)

d) x⁵ – 1 = (x – 1) (x⁴ + x³ + x² + x + 1)

 

Bir Terim Ekleyip Çıkararak Çarpanlara Ayırma: Verilen İfade uygun bir terim ekleme ve çıkarma yolu ile tam kare ve iki kare farkı şeklinde çarpanlara ayırma işlemine benzetilir

 

12) 4x⁴ + 7x² + 4 ifadesini Çarpanlarına ayırınız.

 

4x⁴ + 7x² + 4 = 4x⁴ + 7x² + 4 + x² – x² = 4x⁴ + 8x² + 4– x²

= (2x² + 2)² – x²

2x² 2 = (2x² + 2 – x) (2x² + 2 + x)

2.2x².2 = 8x² = (2x² – x + 2) (2x² + x + 2)

 

 

13) x² – 6x + 5 ifadesini x’li terimin kat sayısının yarısının karesini

ekleyip-çıkararak çarpanlarına ayırınız.

x² – 6x + 5 + 3² – 3² = (x² – 6x + 3²) – 3² + 5 = (x – 3)² – 4

= (x – 3 – 2) (x – 3 + 2) = (x – 5) (x – 1)

 

14) a) m² + 2m – 24 b) a⁴ + a² + 1 c) 16a⁴ + 4a²b² + b⁴

d) a² – 6ab + 8b² +2b – 1 (Not: b² yi bir ekleyip - çıkar )

 

8) x2 + bx + c şeklindeki üç terimlileri Çarpanlarına Ayırma : Çarpımları c, toplamları b olan iki sayı arayacağız. Çarpımları (+) ise işaretleri aynı, Çarpımları (–) ise işaretleri farklı Toplamları (+) “ “ (+) olur Toplamları (+) “ büyüğü (+) olur Toplamları (–) “ “ (–) olur Toplamları (–) “ büyüğü (–) olur

 

15)a) x² + 5x + 6 b) x² – 5x + 6 c) x² + 7x + 6 d) x² – 7x + 6

e) x² + 5x – 6 f) x² – 5x – 6 g) x² + x – 6 h) x² – x – 6

ı) x² – 7x – 18 i) x⁴ – x² – 30 k) m² – 6m – 27 l) x² – 3xy – 10y²

m) –x² – 2x + 3 n) x² – 13x + 30 o) x² + 2y²– 3xy

 

9) ax2 + bx + c şeklindeki üç terimlileri Çarpanlarına Ayırma : ax2 + bx + c = (mx + p) (nx + q) mx p nx q (mx.q + nx.q = bx oluyorsa)

 

16) 6x² + 7x – 3 = (3x – 1) (2x + 3) olur.

3x – 1 (3x . 3 – 1. 2x = 9x – 2x = 7x olduğundan)

2x + 3

17) a) 3x² – 2x – 8 b) 3x² – 7x + 2 c) 2m² + 5mn – 12n²

 

d) 8a² – 2ab – b e) 4x² + 21x + 5 f) 36a² – 33ab – 20b²

 

g) 4m² + 11m – 3 h) 6a² + 5a – 6 ı) 12a² – 8ab – 15b²

 

i) 2m² – 10m + 12 k) 3x² + 3x – 18 l) 3 n² + 30n + 48

 

18) a² + 2ab + b² = 3 ve c² + 2ac + 2bc = 6 ise; a + b + c = ?

c² + 2ac + 2bc = 6 T.T.T

a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc = 9(a + b + c)² = 9 Ç = {-3, 3}

 

19) 91) x = 4 , y = 2 ise, x⁵ – 5x⁴y + 10x³y² – 10x²y³ + 5xy⁴ – y⁵ = ?

a) 16 b) 32 c) 64 d) 128 e) 256

x⁵ – 5x⁴y + 10x³y² – 10x²y³ + 5xy⁴ – y⁵ = (x – y)⁵ = (4 – 2)⁵= 32

20) 97) , ise; a) 6 b) 8 c)10

a + b yerine ab yazılırsa

(a . b)² – 2ab – 24 = 0 olur. a .b = y diyelim.

y² – 2y – 24 = 0 y – 6) (y + 4) = 0 y = - 4 ve y = 6

21) ise, C = 8

olur. (özdeşlikte yerine yazalım )

22) ise; C = 36

olur. (özdeşlikte yerine yazalım )

23) ise; C = 12

olur. (yerine yazalım )

24) işleminin sonucu kaçtır?

123 =153 – 30 ve 183 =153 + 30 yazılırsa

=153 olur